シュリニヴァーサ・ラマヌジャン

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シュリニヴァーサ・アイヤンガー・ラマヌジャン Srinivasa Aiyangar Ramanujan

人物情報
生誕	1887年12月22日イギリス領インド帝国、マドラス管区イーロードゥ（現タミル・ナードゥ州イーロードゥ県）
死没	1920年 4月26日（満32歳没）イギリス領インド帝国、マドラス管区マドラスチェットペット病死
居住	マドラス管区クンバコナム
国籍	イギリス領インド帝国
出身校	パッチャイヤッパル大学
学問
研究分野	数学者
指導教員	ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ
主な業績	ランダウ・ラマヌジャンの定数モックテータ関数ラマヌジャンの予想ラマヌジャン素数ラマヌジャン・ソルドナー定数ラマヌジャンのテータ関数ラマヌジャンの和公式ロジャース・ラマヌジャン恒等式
影響を受けた人物	ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ
署名

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シュリニヴァーサ・アイヤンガー・ラマヌジャン（Srinivasa Aiyangar Ramanujan、1887年 12月22日 - 1920年 4月26日）はインドの数学者。極めて直感的、天才的な閃きにより「インドの魔術師」の異名を取った。

生涯[編集]

クンバコナムのサランガパニー通りにあるラマヌジャンの生家。

1887年、ラマヌジャンは南インドのタミル・ナードゥ州タンジャーヴール県クンバコナムの極貧のバラモン階級の家庭に生まれた。幼少の頃より母親から徹底したヒンドゥー教の宗教教育を受けた（このことはのちに渡英するラマヌジャンの運命に小さからぬ影響を与えることになる）。学業は幼い頃から非常に優秀で、数学にも強い関心を寄せていた。15歳のときにジョージ・カー (George Shoobridge Carr) という数学教師が著した『純粋数学要覧』という受験用の数学公式集に出会ったことが彼の方向性を決めた。
奨学金を得てマドラスのパッチャイヤッパル大学に入学したが、数学に没頭するあまり他の科目の授業に出席しなくなり、1906年12月にファインアートの科目の学位認定試験に落第し、次の年度にも再び落第したため、奨学金を打ち切られて学位を得ないまま中途退学に追い込まれた^[1]。しばらく独学で数学の研究を続けていたが、やがて港湾事務所の事務員の職に就き、そこで上司の理解に恵まれ、仕事を早めに終えて、職場で専ら数学の研究に没頭していた。
その後、周囲の勧めもあって、1913年、イギリスのヒル教授、ベイカー教授、ボブソン教授に研究成果を記した手紙を出す。しかし手紙は黙殺された。
しかしケンブリッジ大学のG.H.ハーディは、ラマヌジャンの手紙を読み、最初は「狂人のたわごと」程度にしかとらなかったものの、やがてその内容に驚愕した。というのも、ラマヌジャンの成果には明らかに間違っているものや既知のものもあるが、中には「この分野の権威である自分でも真偽を即断できないもの」、「自分が証明した未公表の成果と同じもの」がいくつか書かれていたからである^[2]。

ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジにて他の科学者と共に撮影。中央がラマヌジャン。

ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジヒューウェル寮

こうしてハーディはラマヌジャンをケンブリッジ大学に招聘し、ラマヌジャンは1914年に渡英する。しかしイギリスでの生活に馴染むことができず、やがて病いを得てインドに帰国、1920年に病死した。ラマヌジャンは敬虔なヒンドゥー教徒であり厳格な菜食主義者だったが、第一次世界大戦下のイギリスはドイツによる通商破壊もあり、そのような食材は確保が困難だった。こうしたことが原因で、ラマヌジャンは身体的な衰弱を来たしたものとされる。なお、ラマヌジャンの病気は結核か重度のビタミン欠乏症、あるいは近年の研究ではアメーバ性肝炎と言われる^[3]。
渡英後に発表した四十編の論文の他には、渡英前の数学的発見を記したノート三冊、帰国後に記された「失われたノートブック」が残っている。ただし、大学で系統的な数学教育を受けなかったため、彼は「証明」という概念を持っておらず、得た「定理」に関して彼なりの理由付けをするに留まっていた（寝ている間にナマギーリ女神が教えてくれた、など）。共同研究を行っていたハーディも、彼の直感性を損ねることを恐れて証明を押し付けることは避け、朝ラマヌジャンが持ってきた半ダースもの「定理」を一日かけて改めて証明するという方法をとった。明確な証明を付けなかったことで、ラマヌジャンの業績は理解されにくいものとなった。彼が26歳までに発見した定理に関して、その後多くの数学者の協力で証明が行われたが、その作業が完了したのは1997年である。
渡英前のノートに記された公式群は、既に知られていたものも多かったが、連分数や代数的級数などに関しては新しい発見があった。渡英後に発表したラマヌジャンの保型形式、それに関連したラマヌジャン予想は重要な未解決問題であった（1974年にドリーニュが解決）。その他、ロジャース・ラマヌジャン恒等式の再発見や確率論的整数論を創始した功績も高く評価されているが、帰印後のハーディへの手紙に記された「擬テータ関数」の発見が最高の仕事と評されている。後にハーディはラマヌジャンの仕事について、以下のように述懐している^[要出典]。

（ラマヌジャンの仕事は）真に偉大な仕事の単純さと不可避性を備えてはいなかった。それは奇妙さが減れば、より偉大になっただろう。しかしそこには誰も否定できない天賦の才能があった。それは深く無敵の独創性である。もし彼がもっと若い頃に発見され、馴らされていたら、おそらくもっと偉大な数学者になって、新しい発見やより重要な発見をしただろう。一方、彼はそれほど「ラマヌジャン的」でなくなり、ヨーロッパの教授風になって、得るものより失うもののほうが大きかったかもしれない。

また、ハーディは1から100までの点数で数学者をランク付けするのが好きだった。それによると、ハーディ自身は25点、リトルウッドが30点、偉大なるヒルベルトが80点、そしてラマヌジャンが100点だった^[4]。ハーディは謙遜して自分をわずか25点にしか評価していないが、ラマヌジャンに100点を与えたのは、彼の業績に対してハーディが抱いていた尊敬の度合いを表している。

ラマヌジャンの τ 関数[編集]

ラマヌジャンは、現在ラマヌジャンのデルタと呼ばれている次の保型形式を計算した。

$\Delta =x \prod^{\infin}_{n=1} (1-x^n)^{24} = \sum^{\infin}_{n=1} \tau(n)x^n$

彼は x のべきの係数 $\tau (n)$ が乗法的な関数であることを見抜き、さらにそこから

$\sum^{\infin}_{n=1} \tau(n) n^{-s}$

を考えて、そのオイラー積表示

$\prod_p \frac{1}{1-\tau (p)p^{-s} +p^{11-2s}}$

を与えた（正確には、「証明」していないが）。このオイラー積には p^−2s という p^−s の2次の因子が現れており、このようなオイラー積はラマヌジャンによって初めて発見されたものである（「2次のゼータ」の発見）。

タクシー数[編集]

ラマヌジャンの逸話として有名なものの一つに次のものがある。
1918年2月ごろ、ラマヌジャンは療養所に入っており、見舞いに来たハーディは次のようなことを言った。

「乗ってきたタクシーのナンバーは1729だった。さして特徴のない、つまらない数字だったよ」

これを聞いたラマヌジャンは、すぐさま次のように言った。

「そんなことはありません。とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」

実は、1729は次のように表すことができる。

1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³

すなわち、1729が「A = B³ + C³ = D³ + E³」という形で表すことのできる数 A のうち最小のものであることを、ラマヌジャンは即座に指摘したのである。
これは、ラマヌジャンがあらゆる数に興味を持ち、数に対する探究心が高かったことを表す逸話である。当時はフェルマーの最終定理が数学界の主な話題であり、小さな立方数が頭に入っていたとすれば1729から1728 (= 12³)や729 (= 9³)が思い浮かぶのも不思議ではない。1と1000がそれぞれ立方数であることも明らかなので、あとは1729が最小であるかどうかの計算だけである。この逸話は、ラマヌジャンの計算能力が高かったというような意味合いで語られることがあるが、実際は、様々な研究をしていたラマヌジャンは以前からこれを知っていて、それを思い出したのであろう。このようなことから、リトルウッドは「全ての自然数はラマヌジャンの個人的な友人だ」と述べたと言われる。この逸話のため、1729は俗にハーディ・ラマヌジャン数やタクシー数などと呼ばれており、スタートレックやフューチュラマなどのSFや、ハッカー文化の文脈では「一見すると特に意味のない数」のような文脈でこの数が使われていることがある。
ちなみにこの逸話には続きがあり、ハーディが四乗数でも同様のものがあるのかを尋ねた所、ラマヌジャンは少し考えた後「あると思うが大きすぎて分からない」と答えたという。この直感は当たっており、実際、四乗数はそれより何桁も大きい数である。

635 318 657 = 134⁴ + 133⁴ = 158⁴ + 59⁴

補足：上記でいう立方数は自然数を3乗した数のことであり、整数（0は含まず）を3乗した数として負の数まで含めれば、91が最小（絶対値が最小）である。

91 = 6³ + (−5)³ = 4³ + 3³

詳細は「タクシー数」、「キャブタクシー数」、および「一般化タクシー数」を参照

円周率の公式[編集]

ラマヌジャンは、今日ではモジュラー関数と呼ばれる考えを元に、次の円周率の公式を発見した。

$\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!(1103+26390n)}{(4^n99^nn!)^4}$

$\frac{4}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(4n)!(1123+21460n)}{882^{2n+1}(4^nn!)^4}$

これらの公式は、収束が非常に早いものとして知られている。1985年に、ウィリアム・ゴスパー (William Gosper) は、1番目の式を用いて、当時としては世界最高の1752万6200桁を計算した。ただし、ラマヌジャンが証明を残していなかったため、ゴスパーは本当に円周率を計算しているのかどうか不確かな状態で計算を行った。計算結果は、それ以前に計算されていた円周率の値と一致し、式が正しいという一種の「証明」を与えた。これらの式は、その後、証明されている。
また、次のような円周率に関する近似式も発見している。

$\pi\simeq \sqrt[4]{\frac{2143}{22}}=3.1415926525\cdots$

$\pi\simeq \frac{63\left(17+15\sqrt5\right)}{25\left(7+15\sqrt5\right)}=3.1415926538\cdots$

$\frac{1}{2\pi \sqrt2}\simeq \frac{1103}{99^2} \; \Longleftrightarrow \; \pi \simeq 3.1415927\cdots$

楽しい世界と新しい世界

2013年11月28日木曜日

ラマヌジャンの τ 関数ラマヌジャンのデルタ

シュリニヴァーサ・ラマヌジャン

目次

生涯[編集]

ラマヌジャンの τ 関数[編集]

タクシー数[編集]

円周率の公式[編集]

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